Les critères que nous avons énumérés dans le chapitre précédent ont été élaborés sur la base de considérations pratiques. Le critère de l'utilité espérée a ceci de particulier qu'il a été construit de manière théorique par von Neumann et Morgen-stern [1944]. Son ancAStre, le critère de Bernoulli (Daniel Ber-noulli [1738]), avait déjA  été le fruit d'une réflexion ayant pour but d'expliquer le comportement de décideurs face A  certains jeux de hasard, mais sa formulation ne découlait pas de conditions (d'axiomes) sur le comportement des décideurs.
Bien que la théorie de l'utilité espérée n'ait été développée que dans le cadre de - situations de risque - (les probabilités sur les conséquences sont connues), ses principes sont entrés dans la pratique courante de l'analyse de problèmes de décision dans des enronnements incertains plus généraux. De ce fait, ses méthodes sont utilisées, parfois de manière abusive, dans des situations qui n'ont que peu de similitudes avec des situations de risque, cela essentiellement pour deux raisons.
D'une part, l'attrait naturel qu'exerce la théorie des probabilités comme outil de description et d'analyse de l'incertitude A  laquelle fait face un décideur (ou dans un jeu. un joueur) incite A  décrire l'incertitude en termes de mécanismes aléatoires. D'autre part, une tendance générale A  la simplification des problèmes de décision, A  savoir l'élaboration d'un critère de décision qui soit unique et qui élimine l'incertitude, conduit A  prilégier un critère simple comme celui de l'utilité espérée.
Ce critère est construit A  partir de conditions (postulats ou. encore, axiomes) sur le comportement des décideurs. Il n'est applicable qu'A  des décideurs dont les préférences en vérifient les postulats et qui se trouvent dans des situations de décision dans l'incertain particulières : ce sont des situations de risque ou des situations qui s'y ramènent, en un sens que nous allons préciser.

1. Situations de risque et situations qui s'y ramènent

Bien qu'il s'agisse dans les deux cas de jeux de hasard, il est courant d'opposer la situation où se trouve un parieur face A  un jeu de roulette A  celle où il se trouve face A  une course de chevaux. La première est une situation de risque pour laquelle le formalisme de la théorie des probabilités est parfaitement adapté, la seconde une situation qui peut s'y ramener. Dans un jeu de roulette, le hasard est engendré par un phénomène physique, reproductible, qui permet de définir la vraisemblance d'un événement et de la mesurer par une fréquence observable. Dans une course de chevaux, l'expérience qui engendre le hasard n'est pas reproductible parce qu'elle fait intervenir de trop nombreux facteurs ; de ce fait, la notion de mesure de la vraisemblance d'un événement reste subjective. Parmi ces facteurs, les plus édents sont les chevaux, qui, tout dressés et entrainés qu'ils soient, sont sujets A  d'innombrables variations biologiques dont dépendent leur condition physique et, par conséquent, leur probabilité de gagner.
En pratique, peu de décisions sont prises en situation de risque (probabilités connues). Les décisions d'investissement sur un marché boursier, par exemple, font intervenir une incertitude sur les cours futurs dont la distribution de probabilités n'est pas connue. Il est communément admis que cette distribution, ou du moins certains de ses paramètres, peuvent AStre déduits des observations des cours passés. En fait, ni les cours passés ni les cours futurs ne correspondent A  la répétition d'une expérience aléatoire, en ce sens qu'ils ne sont pas obtenus par la répétition d'une expérience reproductible (en partie pour la raison que, parmi les éléments d'incertitude de chaque agent, urent les décisions et les anticipations des autres agents concernant le futur). Cette remarque est facilement transpo-sable A  la plupart des décisions prises par des gestionnaires : achats d'immeubles, imtations de points de vente, lancements de produits nouveaux, etc., et, plus encore, aux problèmes de décision dont les conséquences sont difficiles A  définir : décisions politiques, relations sociales, etc.
Toutefois, lorsqu'une première approche du problème de décision a permis au décideur de résumer les informations dont il dispose sous la forme d'une distribution de probabilités sur les conséquences, le problème de décision se ramène A  une situation de risque. Ce que nous entendons par cette expression, c'est que le choix du décideur se ramène A  celui d'une distribution de probabilités sur les conséquences de sa décision, comme c'est le cas pour un pari sur un jeu de roulette ou sur une loterie.
Considérons, dans un jeu de roulette, le choix entre miser 10 euros sur le 12 ou la mASme somme sur - Pair -. Les gains possibles sont 360 euros pour le premier choix, 20 euros pour le second, la perte possible étant de 10 euros dans les deux cas ; les conséquences possibles sont donc : 360, 20, - 10.
La roulette comportant 37 alvéoles, le 12 sort avec une probabilité de 1/37 et - Pair - avec une probabilité de 18/37 (le 0 n'étant pas compté parmi les nombres pairs). Choisir de miser sur le 12 correspond donc A  choisir la distribution de probabilité sur les conséquences : 1/37 sur 360 ; 0 sur 20 ; 36/37 sur
- 10. Choisir de miser sur - Pair - correspond A  choisir la distribution de probabilité sur les conséquences : 0 sur 360 ; 18/37 sur 20; 19/37 sur- 10.
Considérons A  présent une course de chevaux, et le choix entre miser 10 euros soit sur le cheval numéro 12 (placé A  36 contre 1), soit sur le cheval numéro 5 (placé A  2 contre 1). Les conséquences possibles de ces choix sont encore 360, 20 et
- 10. Le premier choix aura pour conséquence : 360, si le 12 gagne ; - 10, sinon, et il ne pourra pas avoir 20 comme conséquence.
Le second choix aura pour conséquence : 20, si le 5 gagne ;
- 10, sinon et il ne pourra pas avoir 360 comme conséquence. Ces choix ne correspondent donc pas A  des distributions de
probabilités sur les conséquences possibles. Cependant, si le joueur pense que le cheval numéro 12 va gagner avec une probabilité de 1/36 (= 1/37), et que le cheval numéro 5 va gagner avec une probabilité de 1/2 (5 18/37), le choix se ramène effectivement A  une situation extrASmement semblable A  celle où le joueur se trouvait dans le jeu de roulette. La mesure de la vraisemblance des événements élie par le parieur prend les mASmes valeurs que les probabilités précédentes ; aussi, au choix de chaque pari, correspond une distribution de probabilités sur les conséquences possibles (complétées par la probabilité zéro sur la conséquence impossible : 20 s'il mise sur le 12, 360 s'il mise sur le 5). Ainsi, bien que les deux paris soient faits dans des situations d'incertitudes très différentes, il est possible, pour certains parieurs, de les ramener toutes deux A  des situations de risque.
Formellement, un problème de décision est dit en situation de risque si, A  chaque action choisie, correspond une distribution de probabilités sur les conséquences.
Dans l'exemple des paris sur la roulette, la fonction, c, est définie par le règlement du jeu qui fixe les gains en fonction de la somme misée sur les différentes combinaisons de numéros (les actions), et les résultats désignés par la roulette (les résultats de l'expérience aléatoire). La distribution de probabilités sur les événements de cette expérience est définie par la distribution uniforme (1/37 sur chacun des 37 résultats possibles). A€ chaque pari correspond une distribution sur les gains ou les pertes (conséquences) ; par exemple, au pari : - miser 10 euros sur Pair - correspond la probabilité : 18/37 de gagner 2 x 10 euros et 19/37 de perdre 10 euros.
Dans l'exemple des paris sur les courses de chevaux, la fonction c est aussi définie par le règlement du jeu qui fixe les gains en fonction des montants misés (lorsque les cotations dues aux paris des autres joueurs sont déjA  données) et du résultat de la course. La distribution de probabilités sur ces résultats et, par conséquent, celle sur les gains ou pertes, sont définies par le parieur lui-mASme en fonction de ses informations et de son intuition.
Lorsque les cotations ne sont pas données, la distribution sur les conséquences dépend encore d'un nouveau facteur : les actions inconnues des autres joueurs. Cela ne change rien A  notre formalisme si ce n'est que les résultats aléatoires seront formés de deux composantes : l'une résultant de la course, l'autre du comportement des autres joueurs.
Une situation de risque est donc caractérisée par une distribution connue sur l'ensemble des aléas. Dans certains cas, cette distribution peut dépendre de la décision du joueur lui-mASme, son pari changeant les cotations, et, par conséquent, les gains. Le joueur prend, dans ce cas aussi, sa décision dans une situation de risque puisque chacun de ses choix définit une distribution sur les conséquences. La manière dont cette distribution est définie est certainement plus complexe que dans le cas simple de paris sur le jeu de roulette, mais ce qui nous importe ici est que le joueur la considère comme donnée, et donc que la situation se - ramène A  une situation de risque -.
Le principe fondamental de la théorie de l'utilité espérée esl qu'en situation de risque le comportement du décideur est entièrement déterminé par ses préférences sur les distributions de probabilités sur les conséquences de ses actions.
Il est d'usage d'appeler - loteries - de telles distributions, qu'elles proennent ou non d'une loterie sur les résultats d'une expérience aléatoire. En situation de risque, donc, le comportement du décideur est entièrement défini par ses préférences sur les loteries (si, A  la roulette, un joueur préfère la distribution 1/37 sur 360 et 36/37 sur - 10 A  la distribution 1/2 sur 2 et 1/2 sur 0, il misera sur le 12 plutôt que sur - Pair -, par exemple).
Dans une telle situation un décideur est appelé - rationnel - si le choix de ses décisions est cohérent avec ses préférences sur les loteries. Ainsi, si A  l'action a correspond la loterie 1 et A  l'action a' correspond la loterie 1', un agent rationnel choisira a plutôt que a', s'il préfère 1 A  1'.
La théorie de l'utilité espérée est une théorie de la représentation des préférences sur les loteries. Elle permet de définir un critère grace auquel les loteries peuvent AStre ées : c'est leur utilité espérée. Un décideur dont les préférences sur les loteries vérifient les conditions de la théorie (ses axiomes) dispose alors d'un critère qui permet de les er. Puisque chacune de ses décisions est associée A  une loterie, le mASme critère lui permettra de ranger ses décisions, s'il est - rationnel -.
Revenons sur le problème de décision traité au chapitre in, p. 30 : nous aons é la décision prise en utilisant le critère du profit espéré et celle obtenue A  partir de l'espérance d'une fonction d'utilité particulière. La distribution de probabilités était connue : nous étions bien en situation de risque. Le décideur et nous, qui nous mettions A  sa place, avons calculé les probabilités des différents profits selon les décisions prises. LA , nous avons sauté une étape : nous avons déclaré que le décideur rangeait ces profits aléatoires (ces loteries dans notre terminologie actuelle) en utilisant le critère du profit espéré (ou, en nous rasant, celui de l'utilité du profit espéré), d'où se déduisait une décision optimale. L'étape sautée consiste A  justifier le critère employé ; ce chapitre nous donne des moyens de le faire.
Dans une situation de risque ou une situation qui s'y ramène, c'est-A -dire qui ramène le choix d'une action A  celui d'une loterie sur les conséquences des décisions, un décideur dont les préférences sur les loteries vérifient les axiomes de la théorie de l'utilité espérée sera rationnel s'il choisit une action qui maximise l'espérance de l'utilité de la loterie sur les conséquences qui correspond A  cette action.
La théorie de l'utilité espérée, comme les autres théories de représentation du comportement, consiste A  élir des normes sur les préférences qui permettent de construire des critères de choix. Un comportement rationnel sera alors celui d'un décideur qui reconnait ces normes et qui prend ses décisions selon le critère qu'elles ont permis de définir.

2. Représentation des préférences sur des loteries

Nous avons vu au chapitre précédent ce que sont des critères et ce que signifie : représenter des préférences par un critère. Les préférences que nous cherchons A  représenter portent ici sur des loteries sur les conséquences. Nous savons d'ores et déjA  que les deux axiomes que nous avons présentés au chapitre précédent doivent AStre vérifiés. Le premier axiome (Ao) porte sur la abililé de toutes les conséquences, ici les loteries sur les conséquences. Le second (A,) porte sur une propriété mathématique dite - de continuité -.
La richesse structurelle de l'ensemble des loteries a permis d'exprimer une autre propriété de la représentation des préférences : c'est celle que nous appellerons - linéarité - ; elle proent de la structure algébrique de l'ensemble des loteries. Cette propriété, mathématique, traduit une intuition ancienne qui consiste A  considérer qu'une loterie dont les lots sont monétaires est équivalente A  une somme de monnaie obtenue sans incertitude : cette somme correspond au prix maximal qu'un joueur est prASt A  payer pour jouer A  cette loterie. Ce prix, l'intuition première veut que ce soit celui du lot moyen, c'est-A -dire la moyenne arithmétique des lots pondérés par leurs probabilités d'AStre gagnés (le critère de Laplace, ou, plus généralement, celui de l'espérance mathématique du gain). Mathématiquement, le calcul du lot moyen correspond bien A  une propriété de linéarité puisque c'est une somme pondérée (une combinaison linéaire).
Mais le paradoxe de Saint-Pétersbourg, présenté au xvnr siècle, met en édence la contradiction de l'intuition première avec le comportement d'un joueur : aucun joueur ne risquerait toute sa fortune dans un jeu, mASme si le gain espéré est infiniment grand. Miseriez-vous toute votre fortune dans le jeu suivant ?
L'hypothèse suggérée par Cramer A  Bernoulli pour résoudre ce paradoxe est que, si vous n'AStes prASt A  miser qu'une somme finie, disons 100 euros, pour jouer A  ce jeu, c'est que cette somme ne correspond pas au gain espéré mais A  l'espérance d'une fonction de ce gain. C'est cette fonction qui traduit une certaine forme de votre aversion pour le risque (risque de perdre toute votre fortune pour ne gagner que deux euros), parce que c'est une fonction qui croit de moins en moins te avec le gain (en particulier la fonction logarithme a cette propriété).

La fonction U est appelée utilité du gain et le nombre 100 est le prix que vous seriez prASt A  payer pour jouer A  ce jeu. Ce prix, comme on le voit dans la formule, est une fonction linéaire des probabilités des gains. Cette fonction, qui associe un nombre A  chaque loterie, est appelée - index de Bernoulli - ; elle représente les préférences d'un agent sur les loteries, et c'est une fonction linéaire des probabilités. Cette propriété de linéarité, qui est fondamentale dans la théorie de l'utilité espérée, est obtenue pour des préférences sur les loteries qui possèdent une propriété correspondante. L'axiome de linéarité, souvent appelé aussi axiome d'indépendance, que l'on trouvera au paragraphe suivant, exprime cette propriété.

3. Axiomes et existence du critère de l'utilité espérée

Nous présentons ici d'une manière assez peu formelle un système d'axiomes sur lequel est fondée la diéorie de l'utilité espérée. Le but de ce paragraphe est d'exprimer des conditions que devront vérifier les préférences d'un agent sur des loteries pour qu'elles puissent AStre représentées par une fonction numérique qui ait les propriétés précisées au paragraphe précédent. Nous appellerons dorénavant cette fonction V.
Nous avons déjA  exposé les deux premiers axiomes sous une forme générale au chapitre précédent ; nous les présentons ici en termes de préférences sur les loteries.
A0 : Les préférences définissent un ordre total sur les loteries
Cela signifie que toutes les loteries peuvent AStre ées et rangées. Etant donné deux loteries 1 et 1', soit 1 est préférée A  1', soit 1' est préférée A  1, soit ni l'un ni l'autre. Dans ce dernier cas, on dira que 1 et 1' sont indifférentes. L'axiome exprime que l'indifférence est une relation d'équivalence (voir encadré - Préordre -. p. 46) et que les classes d'équivalence sont ordonnées par les préférences. Ainsi, si les loteries étaient en nombre fini, on pourrait les ranger selon l'ordre croissant des préférences, il suffirait alors de les numéroter pour avoir une représentation des préférences. La fonction V - représentant - les préférences associerait un indice A  chaque loterie. Toutefois, l'ensemble des loteries sur un ensemble de conséquences est généralement un ensemble beaucoup plus - grand - qu'un ensemble fini ' et un axiome complémentaire est nécessaire pour représenter un ordre sur cet ensemble. Il s'agit d'un axiome de continuité qui donne aussi une propriété de continuité A  la fonction V.
Lorsque n est grand (n = 100 pour fixer les idées), la loterie qui donne b avec probabilité 1/n est quasi équivalente A  (elle a pour limite) celle qui donne b avec probabilité 0 et a et c avec probabilité 1/2 chacun. L'axiome de continuité implique que vous devez alors préférer la conséquence b (qui est identique A  obtenir b = 1 avec certitude) A  la loterie qui donne a = - 10 et c = 10 avec probabilité 1/2 chacun.

Cet axiome peut AStre exprimé ainsi :

A1 : pour toute loterie l, si toutes les loteries d'une suite l de loteries sont préférées A  l et si cette suite admet une limite l alors cette limite est préférée A  l.
Les loteries - dégénérées - qui donnent la probabilité 1 A  une conséquence sont des cas particuliers de loteries. Soit c une conséquence, il est d'usage de considérer cette conséquence c comme la loterie dégénérée qui donne la probabilité 1 A  c et d'écrire U(c) au lieu de V(c). La fonction U ainsi définie est la restriction de la fonction V aux loteries dégénérées, on l'appelle fonction d'utilité de von Neumann-Morgenstern, réservant A  la fonction V le nom d'index de Bernoulli.
Nous aons déjA  rencontré les deux axiomes précédents au chapitre m dans le cadre général de la représentation de préférences sur un ensemble de conséquences, que ce soit sur des loteries, des nombres ou n'importe quels objets dont l'ensemble permette d'exprimer l'axiome A,. Le troisième axiome est particulier aux préférences sur les loteries, il permet de calculer la fonction V A  partir de la fonction U pour les agents dont les préférences le vérifieraient. C'est donc grace A  cet axiome que nous pourrons justifier qu'un décideur maximise, dans le cas d'une distribution de probabilité uniforme, par exemple : la moyenne empirique des conséquences (critère de Laplace : U est l'identité, V est la moyenne empirique) ou la moyenne empirique des utilités (définie par U) des conséquences. Dans le cas d'une distribution de probabilité plus générale, nous trouverons l'espérance mathématique (V) de l'utilité (U) des conséquences.
Le troisième axiome donne A  la fonction V une propriété de linéarité. Il peut AStre interprété comme une condition d'indépendance des préférences par rapport aux lots des loteries, d'où son nom d'axiome d'indépendance. C'est l'axiome le plus controversé de cette théorie, comme nous le verrons au chapitre n (paradoxe d'Allais).
Dans cet axiome, nous utilisons des - loteries composées - : il s'agit de loteries dont les lots sont eux-mASmes des loteries. Nous avons rencontré cette situation dans l'exemple des forages successifs du chapitre m : la stratégie qui consiste A  faire le premier forage, puis, dans le cas où le résultat est douteux, le second, définit une loterie composée sur les conséquences. A€ la décision de faire le premier forage correspond une loterie (résultat aléatoire) dont les lots sont les décisions momentanées. Dans le cas où la seconde décision consiste A  procéder au second forage, le lot correspondant de la première loterie est une nouvelle loterie. Prenons-en un autre exemple : si 1 et 1' sont deux loteries et si on tire A  pile ou face laquelle des deux on joue, on obtient une nouvelle loterie.
De ce fait, au lieu de la simple utilité - ordinale - que donnent les deux premiers axiomes, le troisième permet de définir ce qu'il est convenu d'appeler une utilité cardinale, c'est-A -dire une utilité qui permet de mesurer les différences entre les préférences.
C'est cette propriété de cardinalité qui donne A  la théorie de l'utilité espérée sa potentialité dans l'étude des problèmes de décision en situation de risque, puisqu'elle permet de mesurer l'aversion pour le risque que révèle le décideur, dont on a pu déterminer la fonction d'utilité.

4. Extension de la théorie au cas d'incertitude non probabilisée

La généralisation la plus importante de cette théorie est due A  Savage |1954]. Elle s'applique aux situations où la distribution sur les aléas n'est pas connue de faA§on objective comme c'est le cas, par exemple, pour des paris sur des courses de chevaux par opposition A  des paris sur des loteries dont la distribution est connue. L'idée de cette théorie consiste A  représenter le comportement d'un décideur par un critère qui s'écrive, aussi, comme une espérance mathématique d'une fonction d'utilité sur les conséquences, mais la distribution par rapport A  laquelle l'espérance est calculée n'a pas le caractère objectif d'une distribution sur une loterie, elle est révélée par le comportement du décideur. Elle peut AStre interprétée comme une mesure subjective attribuée par le décideur A  la vraisemblance des événements aléatoires (cette interprétation, qui justifie le concept de probabilité subjective, ne doit pas laisser oublier que l'apparition de cette probabilité dans le critère est due aux propriétés ' mathématiques ' des préférences, lorsqu'elles vérifient les axiomes de la théorie).
Lorsqu'il n'y a pas de distribution connue sur les conséquences, il est donc possible, dans le but d'étendre la théorie de l'utilité espérée, de supposer que l'agent va tout de mASme en utiliser une. Cette distribution peut avoir le caractère d'un a priori subjectif ou provenir des propriétés de la représentation des préférences. C'est cette seconde interprétation qui nous guide ici.

5. Applications de la théorie de l'utilité espérée

Du fait de ses fondements théoriques, le critère de l'utilité espérée est celui auquel les théoriciens du risque ont pu se référer. Lorsqu'il est éli que le comportement d'un décideur vérifie les axiomes de la théorie, sa fonction d'utilité peut AStre déterminée. La vérification des axiomes, comme la construction, point par point, de la fonction d'utilité se font A  l'aide de questionnaires et sur l'observation de décisions prises auparavant le cas échéant. Les questionnaires consistent A  interroger le décideur sur des situations simples :
' quel prix ètes-vous prASt A  payer pour un contrat d'assurance sur le risque de perte d'une somme de 10 000 euros avec une probabilité de 1/2 ? avec une probabilité de 1/4 ? avec une probabilité de 1/10 ?, etc. ;
' pour quelle probabilité, p. AStes-vous indifférent entre 10 euros et un billet de loterie qui vous permet de gagner 100 euros avec probabilité p ou perdre 100 euros avec probabilité 1 - p ?
De nombreuses procédures de ce type sont utilisées par les spécialistes de l'aide A  la décision (voir par exemple Raiffa [1970]).
Ce critère a ainsi permis de résoudre de nombreux problèmes de décision. Il a aussi permis d'élaborer des diéories économiques faisant intervenir l'incertitude : les problèmes d'assurance et de couverture du risque, la théorie des marchés dans l'incertain (les marchés financiers, en particulier), les problèmes de choix d'investissements, et, plus récemment, de nombreux problASmes d'organisation industrielle et de choix social.
La théorie axiomatique de l'utilité espérée fut élaborée pour construire la théorie des jeux, elle est donc présente dans tous les travaux sur la résolution des situations de conflits. Elle est présente aussi dans l'élaboration de certains critères de la décision statistique que nous verrons au chapitre vu, après avoir présenté ses applications directes A  la mesure de l'aversion pour le risque au chapitre .
Toutefois, insistons sur le fait que, fondée sur des axiomes, elle ne peut prétendre s'appliquer A  tout décideur. Si le comportement d'un décideur ole certains axiomes, le critère de l'utilité espérée ne représentera pas ses préférences, nous verrons d'autres théories qui peuvent alors AStre invoquées, au chapitre n.