Dans la mesure où un décideur est satisfait des solutions aux problèmes de décision qui se posent A  lui et où il n'a pas de compte A  rendre sur la manière dont il les a obtenues, aucun effort de rationalisation ne semble nécessaire. En revanche, dès que la solution n'est pas satisfaisante ou qu'il semble qu'elle puisse AStre améliorée, le décideur aura besoin d'analyser le problème. Cette analyse, qui conduit A  une certaine formalisation (non nécessairement mathématique), permettra aussi d'expliquer plus aisément pourquoi telle solution a été retenue plutôt que telle autre. Le besoin de telles justifications se fait sentir dès que le décideur veut rendre des comptes sur sa décision, et, en particulier, dans les situations où les conséquences de la décision prise ne sont pas immédiatement appréciables. C'est pourquoi les ingénieurs et les gestionnaires utilisent fréquemment des formalisations de leurs problèmes de décision grace A  des graphiques, des arbres de décision, des leaux, etc., et sont conduits A  développer des méthodes et des critères qui permettent A  la fois de calculer les meilleurs choix et de justifier la manière dont ils ont été obtenus. Ces méthodes sont fondées sur des modèles formalisés et les décisions sont prises en utilisant des résultats de la programmation mathématique, encore appelée théorie du contrôle, c'est-A -dire un ensemble de méthodes du calcul des optimums de fonctions.
La théorie de la décision nécessite une représentation formelle des situations de décision et du comportement des décideurs qui permette d'utiliser la théorie du contrôle : un comportement rationnel consistera alors A  choisir une décision qui optimise les critères représentants le comportement du décideur dans la situation décrite par le modèle.
Dans le chapitre suivant, nous traiterons en détail d'un problème particulier. Nous nous limitons ici A  faire apparaitre les différents éléments qui interendront dans la théorie. Nous le faisons A  travers le problème du choix d'investissement tel qu'il est présenté dans la littérature économique. C'est un problème qui est aisé A  formaliser mathématiquement. En effet, comme nous allons le voir, les différents éléments que l'on retrouve dans tous les problèmes de décision dans l'incertain y sont présents et ils sont déjA  exprimés en termes quantifiés. Les choix portent en effet sur des quantités : les quantités investies dans différents actifs. Les conséquences de ces choix sont quantifiées aussi : ce sont des revenus futurs ou des rendements. Cette formalisation naturelle n'empASche pas que. dans la pratique, ces choix soient souvent faits sans le support d'une théorie. En revanche, l'interprétation de ces choix en termes de décisions rationnelles peut serr A  les justifier face, par exemple, A  un conseil d'administration. Dans certains cas de problèmes d'investissement complexes, ou dans le cadre d'une théorie économique des choix d'investissements, le choix rationnel pourra s'appuyer sur l'optimisation de critères définis par la théorie de la décision.

1. Un problème de décision formalisé : le choix de portefeuilles

Vous avez un capital de 100 000 euros que vous désirez investir dans des actions et des obligations. Pour des raisons personnelles et institutionnelles (mais surtout pour simplifier l'exposé de cet exemple !), supposons que vous n'ayez le choix qu'entre les actions de quatre sociétés : Alfath, Bétard, Gam-mage et Deltham, et des bons du Trésor A  trois mois. Vous pourriez former votre portefeuille en achetant pour 20 000 euros de chacun de ces titres et voir venir ! Si le taux de rendement pour trois mois des bons du Trésor est de 4 %, vous savez que vous récupérerez 20 000 + 800 = 20 800 euros dans trois mois. En ce qui concerne les 80 000 euros investis dans les autres actifs, vous ne savez pas ce qu'il adendra dans trois mois. Chacun des titres peut voir son prix monter ou descendre, c'est ce que vous avez pu observer sur les cours de la Bourse depuis un an. en ant les cours de trois mois en trois mois. Les cours des différents titres ne varient pas tous autant ni de la mASme manière ; il faudrait préciser cela pour pouvoir les er. En faisant la différence du cours d'un actif A  une certaine date et de son cours trois mois plus tard, vous obtenez son rendement. En disant ce rendement par le cours initial, vous obtenez le taux de rendement A  trois mois. Vous voyez ainsi, par exemple, que, pendant les trois derniers mois, les taux de rendement de tous les titres sont négatifs ! Si cet état de chose devait durer il ne faudrait sans doute pas investir dans ces titres et placer l'intégralité des 100 000 euros en bons. Ce n'est pas ce que vous conseille votre oncle qui ne place que 10 000 euros en bons, 50 000 euros en Alfath, dont le taux de rendement les trois derniers mois est le plus négatif, et 20 000 euros en Bétard et en Gammage, dont les taux sont différents, mais moins élevés que celui de Deltham dans lequel il n'investit pas. Votre oncle n'est pas un théoricien de la décision, mais se flatte d'avoir du nez. Toutefois, sa décision, c'est-A -dire son choix de portefeuille, peut AStre expliquée si nous nous donnons la peine de formaliser ce qu'il fait intuitivement. Il ne fonde pas sa décision sur la seule observation des taux de rendement sur les trois derniers mois, mais sur les variations des cours sur une période bien plus longue. De cette observation, on peut retenir que le taux de rendement d'Alfath varie irrégulièrement autour d'une valeur moyenne que vous pouvez calculer : c'est 8 %. Les deux autres titres retenus par votre oncle ont des taux moyens de 5 % et de 6 % respectivement. Mais pourquoi a-t-il écarté le litre Deltham de son portefeuille alors que son taux moyen est de 7 % et que. pendant la dernière période, il était, A  - 1 %, le plus élevé ? 11 vous dit qu'il n'a pas confiance, et, en regardant les cours passés, vous observez que leur variabilité a, en effet, une ampleur qui dépasse largement celle des autres titres. En revanche, il semble que la variabilité de Bétard et de Gammage soit très faible. Afin de vous fixer les idées, vous pouvez calculer les écarts (pris positivement) entre les taux calculés chaque jour et le taux moyen. Pour résumer cette série, vous pouvez en faire la moyenne. Vous trouvez des nombres positifs, appelés écarts positifs moyens, qui sont une mesure de la variabilité. Vous trouvez 25 pour Deltham, 20 pour Alfath, 10 pour Gammage et 9 pour Bétard. Nous pouvons alors imaginer qu'intuitivement votre oncle a pris une décision qui s'explique par le raisonnement suivant : Alfath et Deltham peuvent rapporter gros, mais ils varient beaucoup, donc je n'investis pas tout dedans car j'aurai besoin de liquidités dans trois mois. Pour assurer un minimum, je place une partie en bons. Comme on constate aussi qu'ils varient A  peu près dans le mASme sens (leurs taux sont fortement corrélés). il vaut mieux tout concentrer sur Alfath qui a un taux moyen supérieur et une variabilité légèrement moindre. (Remarquons A  ce point que tout le monde ne fait pas le mASme raisonnement que votre oncle car sinon le cours de Deltham s'effondrerait.) Quant aux deux autres titres, ils varient si peu qu'il y a peu de risque de perte, et leurs taux de rendement sont tout de mASme supérieurs A  ceux des bons : j'en prends aussi.
En résumé, le rendement du portefeuille dans trois mois dépendra de sa composition : les quantités investies dans chacun des actifs, c'est la décision qu'il faut prendre. 11 dépendra aussi des cours dans trois mois ; ceux-ci sont inconnus et difficilement présibles A  part celui du bon du Trésor qui est sans risque. Les titres autres que le bon présentent un risque qui est lié A  leur variabilité. Ce risque peut AStre étudié sur la base de l'observation des cours passés. En résumant la variabilité par quelques nombres indicatifs, U est possible de er les rendements possibles. Cela ne suffit pas A  déterminer totalement la décision, puisque ces indicateurs devront AStre complétés par le montant du capital initial, des besoins de liquidité finale, et d'une attitude personnelle s-A -s du risque. Tout le monde préfère le rendement (la conséquence de ta décision) le plus élevé, mais tous les gens qui ont accès aux mASmes informations (les indicateurs de rendement moyen et de variabilité, entre autres) ne prennent pas les mASmes décisions : le classique - père de famille - prudent placera son capital en bons et peut-AStre sur Bétard et Gammage ; votre oncle, qui ne craint pas le risque, préfère parier assez gros sur Alfath.
Cet exemple a introduit les éléments qui serront A  formaliser un problème de décision. Nous le reprenons sous la forme plus abstraite que l'on trouve dans les manuels de finance.
Un portefeuille est une liste de quantités d'actifs détenus par un investisseur. Le problème de choix de portefeuille consiste donc A  décider des proportions d'un certain capital donné que l'investisseur allouera A  chacun des actifs de la liste. Les prix de ces actifs sont supposés connus. De ce fait, la liste des proportions du capital investi définit complètement le portefeuille. Quelles sont les conséquences possibles du choix d'un portefeuille ? Admettons, pour simplifier, que l'investissement se fasse sur un horizon fixé, date A  laquelle chacun des actifs procurera un rendement, et soit r, le rendement de l'actif appelé i.
Si ces rendements étaient connus sans incertitude, le problème de décision serait extrASmement simple A  résoudre, les investisseurs étant supposés préférer les rendements élevés. Le choix rationnel s'impose donc : l'investisseur investira tout son capital dans l'actif de plus haut rendement s'il est unique et, s'il y en a plusieurs, indifféremment entre les actifs qui ont le mASme rendement maximal. Mais les rendements sont généralement incertains et les conséquences du choix d'un portefeuille sont les différentes valeurs que peut prendre son rendement.
Rappelons les éléments d'un problème de décision que le problème de choix de portefeuille nous a permis de formaliser.
» L'ensemble des décisions possibles. ' Cet ensemble sera déterminé par les objets de choix possibles, ici les portefeuilles, c'est-A -dire des vecteurs de cinq nombres. Autant que possible, il sera représenté par un ensemble de nombres ou de vecteurs ayant les propriétés mathématiques nécessaires pour pouvoir appliquer les résultats de la théorie du contrôle.
» L'ensemble des événements élémentaires. ' D représente l'incertitude. Il est encore appelé ensemble des états de la nature ou ensemble des aléas en faisant référence aux jeux de hasard il serait plus général de le désigner comme l'ensemble des éléments (des variables) non contrôlés par le décideur. Dans notre exemple, ces états sont les différentes valeurs que peuvent prendre les rendements de chacun des actifs. Cet ensemble n'est pas nécessairement fini, comme le montre l'exemple des rendements possibles d'un titre financier dont il est courant de supposer qu'il puisse prendre toutes les valeurs d'un intervalle de nombres, Alfath varie entre - 5 % et + 12 %, par exemple.
» L'ensemble des conséquences possibles. ' La conséquence du choix d'un portefeuille, c'est son rendement. Il dépend A  la fois des proportions investies dans chacun des actifs (la décision) et des rendements de chacun des actifs (les états aléatoires). C'est initialement sur cet ensemble, souvent difficile A  bien définir, que le décideur aura des préférences. Cela signifie qu'il sera capable de er les différentes conséquences, puisque, de ces aisons, il déduira le choix de sa décision en remontant des conséquences aux décisions.
» La relation entre décisions, événements élémentaires et conséquences. ' C'est grace A  cette relation, qui pourra AStre définie comme une fonction en définissant d'une manière adaptée l'ensemble des aléas, que des critères sur les décisions pourront AStre définis A  partir des préférences sur les conséquences et du comportement s-A -s de l'incertitude que nous analyserons plus loin.
Les différents éléments que nous avons dégagés du problème d'investissement pourront aisément AStre retrouvés dans les autres exemples de problèmes de décision classiques que nous présentons A  présent.

2. Quelques exemples de problèmes de décision

Nous traiterons en détail le premier exemple : ce sera l'objet du chapitre m ; nous nous contentons ici d'une brève description afin de faire apparaitre les différents éléments que nous avons relevés dans le paragraphe précédent.
» Exploitation minière. ' Une comnie minière, possédant un droit d'exploitation sur un site, doit décider de l'exploiter ou non. Des relevés géologiques indiquent qu'il y a très vraisemblablement une quantité importante de minerai exploile ; en revanche, sa qualité est inconnue. Il peut AStre décidé d'effectuer de nouveaux forages pour sonder la qualité du minerai, ceux-ci sont coûteux et leurs résultats ne sont pas certains. 11 est aussi possible de faire appel A  un expert ; lui aussi coûte cher et n'est pas infaillible. D'autres inconnues pèsent sur la décision : les coûts d'exploitation et les prix de vente futurs du minerai en particulier. Les décisions ont ici plusieurs composantes : forage (oui ou non), expertise (oui ou non) et exploitation (oui ou non). Les aléas ont au moins trois composantes : la qualité du minerai, la fiabilité du forage et/ou de l'expert, les prix de vente futurs. La conséquence d'une décision est le profit futur, il dépend des aléas selon une formule qui peut AStre élie dans chaque cas. Nous présenterons dans le chapitre suivant un traitement simplifié de ce problème.
» Traitement d'une maladie. ' Face A  des symptômes précis, un médecin reste incertain quant au stade d'évolution de la maladie (les aléas sont les différents stades possibles). A un stade peu développé, un premier traitement est efficace A  90 % ; A  un deuxième stade, il n'est plus efficace qu'A  50 %, mais un second traitement l'est A  80 % alors qu'il aurait des effets secondaires très graves au premier stade ; enfin, A  un troisième stade, il n'y a plus rien A  faire. Dans ce problème, les conséquences sont la guérison ou le décès du patient, les coûts de traitement et d'analyse sont négligeables : en revanche, le temps est un facteur important sur l'évolution de la maladie. La décision de procéder A  des analyses plus poussées avant de commencer un traitement peut donc AStre fatale. Les décisions ont donc deux composantes : analyses (oui ou non), type de traitement (premier, deuxième, aucun).
» Lancement d'un nouveau produit. ' Une société industrielle doil décider de lancer elle-mASme un nouveau produit mis au point par son serce d'études ou d'en vendre le brevet A  une autre société. Une décision intermédiaire consiste A  fabriquer et lancer ce produit A  une échelle expérimentale et de décider ensuite d'en développer l'exploitation ou d'en céder le brevet. L'incertitude porte sur le marché accessible A  un certain coût d'exploitation et de publicité, et la capacité de conserver ce marché après que la concurrence a imité le produit. Les conséquences sont les profits nets futurs.

3. Arbres de décision

Une manière de décrire un problème de décision consiste A  en représenter les éléments sur un arbre, c'est-A -dire un graphe composé de sommets et d'arcs qui les rejoignent. Dans un problème de choix entre deux décisions a1 a2, dont les conséquences dépendent de trois états de la nature W1, W2, W3, ceux-ci peuvent AStre représentés par trois arcs issu d'un sommet. A€ l'extrémité de chacun de ces arcs, les sommets représentent les situations où les décisions sont prises. Les décisions seront représentées aussi par deux arcs. Les six sommets terminaux correspondent alors aux conséquences finales contingentes aux chemins que l'on peut suivre le long de l'arbre.
L'intérASt de la représentation d'un problème de décision par un arbre, mASme s'il se révèle, en général, que cette représentation est partielle, réside dans le fait qu'elle permet de décrire le problème tel qu'il se présente, afin d'en faire apparaitre progressivement les différents éléments. Dans l'arbre précédent, la conséquence c2 est obtenue A  partir de la décision a, si l'événement ta, se réalise, mais de la décision a2 si l'un des événements w2 ou w3, se réalise. Le choix de a, dépend donc de l'évaluation de la vraisemblance de la réalisation des événements.
Nous nous serrons de la représentation par un arbre au chapitre suivant pour traiter du problème d'exploitation d'un site minier.

4. Comment formaliser l'incertitude

Nous avons vu apparaitre l'incertitude relative aux conséquences des décisions prises dans les exemples précédents
Dans le problème d'extraction minière, l'incertitude porte tout d'abord sur la présence ou non de minerai et sur sa qualité. En admettant que trois types de qualités : bon, faible et inexploile soient retenus, nous avons quatre événements A  considérer : pas de minerai, minerai inexploile, faible minerai, bon minerai. Afin de décider de faire un sondage ou pas, la vraisemblance de ces événements sera prise en compte, elle pourra AStre quantifiée A  partir de données d'experts. Mais il se peut qu'une telle quantification soit a priori jugée impossible, non fiable ou tout simplement dénuée de sens. En revanche, les prix de vente futurs sont une seconde source d'incertitude qui est du mASme type que celle des rendements d'actifs dans l'exemple précédent.
La théorie de la décision nous apprendra A  distinguer deux types d'incertitudes. Les jeux de hasard et l'évaluation des paris, qui ont ser d'abstraction pour l'étude des problèmes de décision, nous permettent de les distinguer par analogie :
' le premier type est caractérisé par des variables engendrées par des mécanismes : il correspond aux paris sur les loteries, roulettes, sectiunes, etc. ;
' le second par des variables engendrées par des expériences trop complexes pour AStre répétées dans des conditions identiques : il correspond aux paris sur des événements sportifs tels que les courses de chevaux, les matches de boxe ou de football, sur des événements sociaux comme des élections, ou sur des événements météorologiques, etc.
Ce qui caractérise le premier type d'incertitude est le côté mécanique de la génération des variables, qui fait qu'avant de s'engager sur un pari le décideur a la possibilité d'observer la fréquence d'apparition des événements qui lui semblent pertinents. Ainsi, nous savons par expérience qu'une pièce lancée tombe une fois sur deux sur pile, que l'as a une chance sur six d'apparaitre dans le jet d'un dé, etc. Nous savons peut-AStre aussi que chaque numéro du Loto national a une chance sur quarante-neuf de sortir, mais en revanche nous n'avons pas pu observer la fréquence d'apparition de la suite 48, 03, 25. 39, 11, 05, 44, que nous voudrions jouer. La probabilité d'apparition de cet événement peut cependant AStre calculée grace A  la théorie des probabilités qui a été développée pour formaliser ce type d'incertitude. De nombreux parieurs, ne sachant pas faire ce calcul, se conduisent comme si l'incertitude A  laquelle ils font face était du second type. Il en est souvent ainsi dans l'appréciation des rendements futurs des portefeuilles dont nous avons discuté plus haut. Mais quel que soit son type, l'incertitude sera formalisée par :

' un ensemble de résultats possibles ;

' un ensemble d'événements qui affectent les conséquences des décisions (les taux sont inférieurs A  4 %). Un événement est caractérisé par les résultats qui le vérifient (si le taux est de 2 %, l'événement précédent est vérifié) ;
' une pondération de ces événements. Les poids affectés A  chaque événement peuvent provenir de la fréquence avec laquelle ils ont été observés. Plus généralement, ils correspondent A  une évaluation subjective de la vraisemblance de leur apparition. Dans l'un comme dans l'autre cas, cette pondération pourra AStre formalisée par la notion de probabilité ".
En résumé, après avoir procédé A  une description des différents éléments pertinents d'un problème de décision grace A  des listes, des diagrammes et des arbres de décision, on s'attachera A  en donner une formulation mathématique. Les outils puissants que propose la théorie des probabilités, dont découlent la théorie statistique et la théorie des séries temporelles, ont amené les théoriciens de la décision A  prilégier la formalisation de l'incertitude en des termes qui permettent d'utiliser ces théories mathématiques.